O PROBLEMA DE MATEMÁTICA MAIS DIFÍCIL DA HISTÓRIA: TEOREMA DE FERMAT – 14ª PARTE

O desafio de solucionar Fermat, agora, dependia de um passo intermediário, mas igualmente desafiador: demonstrar que a forma modular (cujas soluções formam uma série M) se relaciona diretamente com uma equação elíptica (cujas soluções formam uma série E).

Esse passo era também importante pois, demonstrada a igualdade, a solução de uma seria a solução da outra também. Taniyama percebeu essa igualdade ao estudar diversas equações. Em 1957, Shimura foi convidado como professor visitante em Princeton. Pretendia voltar a Tókio e continuar os estudos que iniciara com seu amigo. Contudo, Taniyama não esperou. Suicidou-se, sem causas relevantes aparentes.

Depois da morte do amigo, Shimura concentrou-se na compreensão exata entre equações elípticas e formas modulares. Estava convencido da igualdade entre ambas. Ficou conhecida como conjectura Taniyama-Shimura.

A relação direta entre a demonstração da Conjectura e a prova de Fermat foi levantada em 1984, por Gerhard Frey. Partindo de Fermat:

Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ , ele realizou algumas manipulações algébricas e chegou a:

Y² = X³ + (An – Bn)x² – AnBn

Esta equação está na forma elíptica.

Portanto, ao desenvolver Fermat até chegar a uma equação elíptica, Frey ligara Fermat à Conjectura de Taniyama-Shimura. A condição, que Frey estabelecera, é que Fermat fosse falso.

Passo a passo da lógica de Frey: se Fermat fosse falso, então a equação elíptica existe; se a equação não for modular a Conjectura é falsa – pois afirma que toda elíptica é modular; caso contrário, Fermat é verdadeiro.

O furo deixado no raciocínio brilhante de Frey parecia iniciante demais: ele não demonstrou que a elíptica que ele achou não era modular – só disse que era bizarra. Provado que a equação elíptica de Frey não era modular, Fermat restaria demonstrado de uma vez por todas.

Pois é. O problema é que essa demonstração estava se mostrando tão inalcançável quanto o Teorema de Fermat.

A prova passava por encontrar invariantes (como no caso dos nós). Encontrada a invariante que impossibilitava a transformação da elíptica em modular, restaria demonstrada a Conjectura.

Quem provou essa Conjectura foi Ken Ribet. A solução que ele adotou é uma medida quase esotérica da matemática, difícil de entender, quase impossível de explicar.

O cenário agora é: os matemáticos presumiriam que Fermat era falso; isso implica na falsidade da Conjectura Taniyama-Shimura; portanto Fermat seria falso. Sendo o resultado da Conjectura fosse verdadeiro, Fermat seria verdadeiro (e se você se lembrar da pergunta, entenderá que isso implica que há soluções).

Mas a Conjectura demorou trinta anos para ser provada... Nada animador para a resolução do problema já secular.

Rubem L. de F. Auto

                        

Fonte: livro “O último teorema de Fermat: a história do enigma que confundiu as mais brilhantes mentes...”.