Leonhard Euler nasceu na cidade
suíça de Basiléia, a mesma da família Bernouilli, que produziu três gerações de
matemáticos brilhantes – foram apelidados de Bach da matemática. Apesar de ser
filho de pastor luterano, Euler pôde seguir sua vocação em razão do apoio dado
por Daniel e Nikolaus Bernouilli.
Após imprimir seu nome na ciência
dos números, Euler passou anos lecionando e resolvendo problemas em palácios da
Europa, como Berlim e São Petersburgo.
No século XVIII, diversos
cientistas haviam mostrado os governantes da época do que a ciência aplicada,
especialmente nas áreas bélicas, eram capazes de fazer. Isso deu início a uma
competição para ver quem atraía as mentes mais brilhantes. Euler começou
trabalhando para os czares russos; depois foi convidado por Frederico da Prússia
para lecionar na Academia Militar de Berlim. Depois retornou para a Rússia,
onde morreu. Durante sua carreira, Euler venceu desafios nas áreas de finanças,
acústica, irrigação...
Evidentemente os governantes
estavam interessados em questões práticas. Mas isso não impedia Euler de
dedicar algum esforço à abstração matemática.
Euler se notabilizou, dentre
outras coisas, pelo desenvolvimento do método dos algoritmos. Seu interesse
surgiu de seus estudos visando a prever as fases da Lua. A dificuldade, apesar
de já se conhecer sua órbita, é que a Lua está sujeita aos efeitos da gravidade
da Terra e do Sol. Isso produz um efeito bamboleante na órbita da Lua.
Euler desenvolveu um algoritmo
para lidar aumentar a precisão dos cálculos para determinar a posição dos
navegadores. Tratava-se de uma sequência de cálculos em que a resposta da
operação anterior alimentava uma nova rodada de cálculos, e assim
sucessivamente. Uma centena de repetições depois, tinha-se uma posição da Lua
suficientemente precisa para as necessidades da Marinha. Euler recebeu 300
libras do Almirantado britâncio como recompensa.
Uma das conquistas mais famosas
de Euler foi o problema das Pontes de Konigsber, atual Kaliningrado. Às margens
do rio Pregel, possuía quatro bairros, ligados por sete pontes. A pergunta era:
seria possível fazer um passeio pelos quatro bairros, de forma a cruzar cada
ponte uma única vez?
Sua resposta foi: para que o passeio fosse bem-sucedido,
cada bairro somente poderia ser ligado por um número par de pontes (lógico,
não? A pessoa tem que chegar ao bairro por uma ponte e sair por outra). Somente há duas exceções: no início e no
final da jornada (lógico, não?).
Se a jornada se iniciar e terminar no mesmo bairro, o número
de pontes em cada bairro deve ser par (é necessária uma última ponte para o
retorno ao ponto inicial). Se a jornada se iniciar e terminar em locais
distintos, o número de pontes deve ser em número ímpar. Portanto a lógica para
cada bairro possuir um número par de pontes é a mesma caso dois bairros contem
com um número ímpar de pontes.
Euler pôs no papel, usando pontos para representar os
bairros e linhas para representar as pontes. Depois comparou com uma representação
aérea de Koningsberg. Percebeu que a cidade tem quatro bairros e número ímpar
de pontes ligando os bairros (três deles têm três pontes; um bairro têm cinco
pontes).
Resposta: o passeio proposto era impossível. O número par de bairros
exigiria um número par de pontes.
Pois bem. Esse solucionador de problemas nato, um dia,
deparou-se com o Último Teorema de Fermat. Certamente o formato simples e a pergunta
direta devem ter feito Euler subestimar a dificuldade de resolvê-lo. Ele planejou
que, se provasse o resultado para um expoente específico, poderia extrapolar o
resultado para todo o resto.
Seu trabalho começou com uma pista oculta. Fermat havia
escrito disfarçadamente uma prova para o caso n = 4. Ele usou esse caso para
solucionar um outro problema. Contudo, estava tudo de maneira vaga e
incompleta.
Uma observação que Euler depreendeu rapidamente da prova de
Fermat era o fato de usar um método de resolução chamado “descida infinita”. Inicialmente
supõe-se haver solução. Depois, inventam-se índices (X1, Y1 e Z1, por exemplo)
e substitui-se na equação. Extrapola-se o raciocínio de maneira a supor que
existe uma outra solução, porém com números menores (X2, Y2 e Z2). Segue-se o
passo a passo sucessivamente.
Seria ilógico supor que não há um fim, uma solução final
menor possível. Temos uma contradição que põe fim à suposição inicial: não há
soluções possíveis.
Euler passou a tentar usar o mesmo raciocínio para construir
um teorema geral. No entanto foram necessárias pequenas adaptações.
Primeiramente, usou n = 3 e conseguiu provar a ausência de
soluções. Em carta a Christian Goldbach, Euler expôs sua prova. Porém, para
aplicar o mesmo para n = 4, Euler teve de fazer uso de uma inovação matemática
do século XVI: os números imaginários.
Assunto para um próximo post ...
Rubem L. de F. Auto
Fonte: livro “O último teorema de Fermat:
a história do enigma que confundiu as mais brilhantes mentes...”
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