Depois dos avanços realizados por Euler, ainda restava
provar a ausência de soluções para o Último Teorema de Fermat para n = 5, 6, 7...
Uma observação importante é que a solução para n=4 serviria
para os casos de n=8, 12, 16, 20... Pelo mesmo princípio, a solução para n=3
serve para n=6, 9, 12, 15...
São todos múltiplos dos números menores.
Outra observação interessante é que n=3 trata de um caso de
número primo.
Apenas par relembrar: os números primos são, para a
matemática, equivalentes ao átomo para a química. Todos os números podem ser
decompostos em fatores primos. Ou seja, um número primo somente é divisível
apenas por 1 e por ele mesmo; todos os outros números são múltiplos de números
primos e chamam-se números compostos.
O entendimento acima é importante para a resolução do
Teorema de Fermat. Caso seja demonstrada a solução para n igual a valores
primos, automaticamente estará dada a solução para todos os não primos, haja
vista os não primos serem simples múltiplos de números primos. Para demonstrar
a solução para o nº 20 (não primo), basta demonstrar para 5, 7, 11, 13, 17 e
19.
Uma área da matemática que encontrou aplicações concretas muito
interessantes no mundo real é o estudo dos números primos. Provavelmente a mais
famosa é a criptografia, a codificação de mensagens secretas. No mundo da
informática, desejasse enviar uma mensagem embaralhada, de forma a ninguém
conseguir lê-la, exceto o destinatário desejado, que poderá decodificá-la e
lê-la. A intenção é não peitir a interceptação e leitura da mensagem secreta.
Esse processo de codificação (o embaralhamento da mensagem) envolve
o uso de duas chaves: uma secreta que, se aplicada ao contrário, também decodifica
a mensagem. Dito isso, fica claro que a chave é o elo mais fraco. Inclusive um
primeiro passo da segurança da informação é a troca regular da chave.
Mantendo-se nesse estágio, a codificação seria um processo
tão difícil quanto a decodificação. O desafio dos matemáticos foi modelar um
processo que fosse fácil de codificar, mas difícil de decodificar. Esse processo
foi delineado na década de 1970. Esse modelo dividia a chave em duas metades: a
metade codificadora, disponível ao público; a parte decodificadora seria
mantida em segredo. A codificadora serve para enviar as mensagens
criptografadas.
Em 1977, matemáticos do MIT perceberam, que os números
primos seriam a base ideal para o processo: ficaria fácil de codificar e
difícil de decodificar. Cada chave pessoal é formada por 2 enormes números
primos (cada um com cerca de 80 dígitos). A multiplicação dos dois cria um número
não primo inacreditavelmente longo. Codifica-se a mensagem com o número não
primo; a decodificação ocorre pelo uso dos dois números originais – os fatores
primos do número não primo.
O número não primo fica disponível ao público (chave
pública). Os fatores ficam restritos ao proprietário. O desafio para quem
quiser decodificar a mensagem sem que tenha as chaves privadas (os fatores) é
criar um algoritmo que calcule os fatores que formam a chave pública. Contudo,
fazer esse caçulo para um número de mais de 100 dígitos torna a tarefa
impraticável, mesmo com computadores ultrarrápidos.
No mundo natural, um caso interessante foi a descoberta de
cigarras “Magicicada septendecim”. Elas ficam debaixo do solo quase que sua
vida inteira: 17 anos. Então ficam adultas e emergem em grande número,
acasalam, põem seus ovos... E morrem.
A razão do ciclo de 17 anos é o fato de que seus parasitas
possuem ciclo de vida de 2 ou 3 anos. Tendo evoluído para um ciclo de número
primo, a probabilidade de elas emergirem em um ano coincidente com o de seus
parasitas cai drasticamente. O sucesso foi tanto que não é mais possível
encontrar esses parasitas, só fósseis deles... Como curiosidade, as cigarras
com ciclo de 17 anos só encontrariam parasitas com ciclo de 2 anos a cada 272
anos. Compreensível que haja apenas fósseis ou parasitas que evoluíram para
atacar outros insetos também.
E a jornada continuará em outro post.
Rubem L. de F. Auto
Fonte: livro “O último teorema de Fermat:
a história do enigma que confundiu as mais brilhantes mentes...”.
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